初中几何

升学入学  |  教育科学

题设BC是圆O的一条弦,AB,AC是圆O切线,直线EF与BC交于D,且DE=DF,其中F在AB上,E在AC的延长线上。
求证:OD⊥EF.
分享:
2012-09-19

2012-09-19最佳答案

设EF与圆O交于G,H,过E作EK//AB,∵DE=DF,∴△EK≌△DFB,∴∠K=∠DBF=∠BCA=∠ECK,∴FB=EK=EC,又EC^2=EG*EH,FB^2=FH*FG,∴FH*FG=EG*EH,∴FH(FH+HG)=EG(EG*GH),∴EG^2+EG*GH=FH^2+FH*GH,∴EG=FH,∴DG=DH,∴OD⊥EF.screen.width*0.35) this.width=screen.width*0.40">

其它1条答案

设BC是圆O的弦,AB,AC是圆O切线,F在AB上,E在AC的延长线上,EF与BC交于D,且DE=DF。求证:OD⊥EF. 证明 设DE与圆O交于P,DF与圆O交于Q. 过F作FG//AE,交BC于G。因为AB=AC,所以BF=GF. 易证ΔFGD≌ΔECG,故FG=CE. 由切线定理得:CE^2=EQ*EP; BF^2=FQ*FP <==>EQ*EP=FP*FQ <==> (EP+PQ)*EP=(FQ+PQ)*FQ <==> EP^2-FQ^2=PQ*(FQ-EP) <==> (EP-FQ)*(EP+FQ-PQ)=0 那么EP=FQ [EP+FQ-PQ≠0] 所以由DE=DF得:D是PQ的中点。 因此OD⊥EF.

2012-09-19